Sonsuz Kazançlı Oyuna Kaç Para Verirsiniz
Oyun basit. Hileli olmayan bir parayı yazı gelene kadar atıyoruz. İlk yazı birinci atışta gelirse iki altın, ikincide gelirse dört, üçüncüde sekiz. Her beklemede ödül ikiye katlanıyor. Bu oyunda oynama hakkı satılıyor. Kaç para verirsiniz?
Beklenen değeri hesaplayın. Birinci atışta yazı gelme ihtimali yarım, ödül iki: katkısı bir altın. İkincide ihtimal dörtte bir, ödül dört: yine bir altın. Üçüncüde bir altın. Sırada sonsuz tane bir altın var. Toplam sonsuz. Yani "beklenen kazancı en yükseğe çıkar" kuralını ciddiye alan biri, bu oyuna sahip olduğu her şeyi vermeye razı olmalı. Evini, arabasını, hepsini.
Kimse vermiyor. Çoğu insan on altını fazla buluyor.
Soruyu 1713'te Nicolas Bernoulli sordu, bir mektupta. Kuzeni Daniel Bernoulli 1738'de Petersburg akademisinin dergisinde üstüne uzun uzun düşündü; paradoks adını o şehirden aldı. Mesele insanların ürkekliği değildi. Mesele şuydu: akılcı kararın omurgası sayılan bir kural, hiç kimsenin kabul etmediği bir cevap veriyordu. Ya kural bozuktu ya da bütün insanlık.
Daniel Bernoulli'nin çözümü hâlâ iktisadın temelinde duruyor. Paranın değeri sabit değildir. Cebinde on altını olan için bir altın yemektir; on bin altını olan için bir tıkırtı. Öyleyse tartılması gereken şey para değil, paranın o kişideki karşılığıdır. Bu ikinci ölçekte ödüller ikiye katlanırken değerleri ikiye katlanmıyor; toplam artık patlamıyor, bir yerde duruyor. Hesap yapıldığında ortaya çıkan makul fiyat birkaç altın mertebesindedir ve kişinin servetine göre değişir. Zengin biraz daha fazla verir. Akılcılığın ölçüsü paradan öznel değere kaymış olur.
İyi çözüm. Yetmiyor. 1934'te Karl Menger tek hamleyle gösterdi: ödülleri daha vahşi büyütün, mesela her adımda değeri değil değerin değerini katlayın, aynı paradoks geri gelir. Azalan fayda oyunu yavaşlatır, durdurmaz. Paradoksu kapatmak için faydanın tavanı olduğunu kabul etmeniz gerekir; yani hiçbir ödülün, ne kadar büyürse büyüsün, sizin için belli bir sınırın ötesine geçemeyeceğini. Bu da bedava bir varsayım değil.
Ama asıl çürük yer başka bir yerde ve modern okur için önemli olan da orası. Bu oyunu kim ödeyecek? Sonsuz ödül, sonsuz kasa demektir. Gerçek bir masada kasanın tavanı vardır. Karşınızdaki kurum en fazla bir milyar ödeyebiliyorsa, oyun otuzuncu atıştan sonra kapanır ve beklenen değer sonsuzdan otuz küsur altına iner. Sonsuzluk formülde vardı, dünyada yoktu. Aritmetikte hata yoktu; hatanın tamamı, formüle sessizce giren "karşı taraf sonsuz zengin ve elimizde sonsuz zaman var" varsayımındaydı.
Bir ayrım burada kendini dayatıyor. Bir bahsin beklenen değeri ile sizin o bahsi yaşayarak çıkacağınız değer aynı şey değil. Beklenen değer, aynı oyunu binlerce kez oynayan birinin ortalamasıdır. Siz bir kez oynuyorsunuz. Kasanız yeniden dolmuyor. Sıfıra düşen oyuncu için ortalamanın hiçbir tesellisi yok, çünkü ortalamayı görecek kadar el oynayamıyor. Dağılımın biçimini yok sayan bir kural, akılcılığın tamamı olamaz.
Bunu bir huy meselesi sanmak kolay tuzak. Sanki elindekini kaybetmekten çekinen insanın tek eksiği gevşemeyi, bağlanmamayı, kaybı önceden kabullenmeyi öğrenmekmiş gibi. Değil. Sıfıra düşmemeye çalışan oyuncunun terbiyeye ihtiyacı yok; matematik onu zaten haklı çıkarıyor. Bazı sıkı tutuşlar zaaf değil, doğru okunmuş bir dağılımdır.
İtiraz haklı ve söylenmeli: bu gerekçeyle her hesaptan kaçan insan da akılcı olmaz. "Sayılar beni ilgilendirmiyor, ben içimden bilirim" diyen biri, sigortadan aşıya kadar hayatının bütün iyi kararlarını da çöpe atar. Beklenen değer aptalca bir alet değildir; çok tekrarlanan, küçük bahisli, kasası dolu durumlarda dünyanın en iyi pusulasıdır. Paradoks bize hesaptan vazgeçmeyi değil, hesabın hangi dünyada geçerli olduğunu sormayı öğretiyor.
Bugünün dili bu dersi fena halde gerektiriyor. Bir kutu açma oyununda ya da bir yatırım vaadinde önünüze konan "beklenen getiri" çoğu zaman doğru hesaplanmıştır. Doğru olmayan, o hesabın kaç kez oynanabildiği ve zarar edildiğinde faturayı kimin ödediğidir. Martingal denen o eski sistem de böyledir: her kaybettiğinde ikiye katla, eninde sonunda kazan. Matematiği kâğıt üstünde çalışır. Çalışmadığı yer masanın üst limiti ve sizin cebinizin dibidir.
O yüzden önünüze büyük bir sayı konduğunda sorulacak soru, sayının doğru olup olmadığı değil. Soru şu: kaç el oynayacağım, ve uzarsa kim ödeyecek? Üç yüz yıl önce bir yazı tura oyunuyla sorulan soru buydu. Cevabını veremeyen her parlak hesap, hâlâ aynı sonsuzluğu satıyor.